Question Paper of Hard Maths

Question 1:

$R o b e r t b o r r o w s $ 400 000 t o b u y a h o u s e . T h e i n t e r e s t r a t e i s 6 % p . a . c o m p o u n d i n g m o n t h l y . H e a g r e e s t o r e p a y t h e l o a n i n 30 y e a r s w i t h e q u a l m o n t h l y r e p a y m e n t s o f $ M . L e t $ A n b e t h e a m o u n t o w i n g a f t e r t h e n t h r e p a y m e n t . (i) I f t h e a m o u n t o w i n g a f t e r t w o r e p a y m e n t s A 2 i s $ 399 201.61, s h o w t h a t h i s m o n t h l y r e p a y m e n t i s $ M = $ 2 398.20 . (i i) S h o w t h a t A_{n} = $ 479 640 $ 79 640 1 . 005^{n} . (i i i) A f t e r h o w m a n y m o n t h s w i l l t h e a m o u n t o w i n g b e l e s s t h a n $ 150 000 ?$

Question 2:

$S o l v e t h e s e s i m u l \tan e o u s e q u a t i o n s . 4 x - y = 3 10 x + 3 y = 2 A p o i n t P (x, y), m o v e s s o t h a t i t s d i s \tan c e f r o m t h e l i n e y = - 2 i s e q u a l t o i t s d i s \tan c e f r o m t h e p o i n t S (5, 2) . F i n d t h e e q u a t i o n o f t h e l o c u s o f P . A n o b j e c t m o v e s s o t h a t i t s v e l o c i t y, v m / s, a t a n y t i m e, t s e c o n d s, i s g i v e n b y, v = e^{- 2 t} (i) S h o w t h a t t h e a c c e l e r a t i o n i s a l w a y s n e g a t i v e . (i i) F i n d t h e a c c e l e r a t i o n a f t e r 1 s e c o n d . (i i i) I f t h e o b j e c t i s i n i t i a l l y 2 m t o t h e r i g h t o f t h e o r i g i n, f i n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e d i s p l a c e m e n t o f x i n t e r m s o f t . (i v) D e s c r i b e t h e m o t i o n o f t h e p a r t i c l e a s t i m e i n c r e a s e s . I n c l u d e a d e s c r i p t i o n o f d i s p l a c e m e n t, v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n . A c i r c u l a r s t a i n e d g l a s s w i n d o w o f r a d i u s 3 m r e q u i r e s m e t a l s t r i p s f o r s u p p o r t a l o n g A B, D C a n d F G, a s s h o w n i n t h e d i a g r a m .$

$C o p y t h e d i a g r a m a n d i n f o r m a t i o n i n t o y o u r w r i t i n g b o o k l e t . O i s t h e c e n t r e o f t h e c i r c l e . L e t O F = O G = y m e t r e s a n d F B = F A = G C = G D m e t r e s . (i) F i n d a n e x p r e s s i o n f o r y i n t e r m s o f x . (i i) T h e t o t a l l e n g t h o f t h e s u p p o r t s t r i p s (i e . A B + D C + F G) i s L m e t r e s . S h o w L = 4 x + 2 \sqrt{9 - x^{2}} (i i i) T h e w i n d o w w i l l h a v e a m a x i m u m s t r e n g t h w h e n t h e l e n g t h o f i t s s u p p o r t s i s a m a x i m u m . S h o w t h a t F B = \frac{6 \sqrt{5}}{5} m e t r e s, p r o v i d e s m a x i m u m s t r e n g t h f o r t h i s w i n d o w .$

Question 3:

$T h e s h a d e d r e g i o n l y i n g b e t w e e n t h e c u r v e y = 4 — x^{2} a n d t h e x a x i s i s r o t a t e d a b o u t t h e x a x i s F i n d t h e v o l u m e o f t h e s o l i d o f r e v o l u t i o n s o f o r m e d$

Question 4:

$T h e p o p u l a t i o n P o f a p e n g u i n c o l o n y i s g r o w i n g a t a r a t i o t h a t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t p o p u l a t i o n . T h e p o p u l a t i o n a t a n y t i m e t y e a r s i s g i v e n b y : P = P_{°} e^{k t} W h e r e P_{°} a n d k a r e c o n s \tan t s T h e p o p u l a t i o n a t t i m e t = 0 w a s 2000 a n d a t t i m e t = 2 w a s 6000 (i) F i n d t h e v a l u c o f P_{°} (i i) F i n d t h e v a l u e o f k i n e x a c t f o r m . (i i i) A t w h a t t i m e, c o r r e ç t t o 1 d e c i m a l p l a c e, w i l l t h e p o p u l a t i o n r e a c h 12000 ? (i v) W h a t w i l l t h e p o p u l a t i o n b e a f t e r 10 y e a r s ? (v) D r a w a n e a t g r a p h t o i l l u s t r a t e t h e p o p u l a t i o n o v e r t i m e .$

Question 5:

A car travels at 45 km/h on a circular curve whose radius is 0.5km.

i) Find the distance I km, that the car travel in one minute.

ii) Calculate the size of the angle 9 through which the car turns in one minute. Give your answer to the nearest degree.

Question 6:

$A l e x w a l k s 8 k m o n a b e a r i n g o f 140 ° T . S h e t h e n t u r n s a n d w a l k s o n a b e a t i n g o f 060 ° T f o r 2 k m . (i) D r a w a d i a g r a m t o i l l u s t r a t e t h e p r o b l e m . I f A l e x w a n t s t o r e t u r n t o h e r s t a r t i n g p o i n t, c a l c u l a t e : (i i) T h e s h o r t e s t d i s \tan c e s h e w i l l n e e d t o t r a v e l c o r r e c t t o 1 d e c i m a l p l a c e . (i i i) T h e n e w b e a r i n g s h e w i l l n e e d t o w a l k o n t o g o t b a c k t o h e r s t a r t i n g p o i n t c o r r e c t t o t h e n e a r e s t m i n u t e .$

Question 7:

$i) d i f f e r e n t i a t e \log_{e} (\cos x) w i t h r e s p e c t t o x i i) H e n c e o r o t h e r w i s e s h o w \int_{0}^{π / 4} \tan x d x = \frac{1}{2} \log_{e} 2$

Question 8:

$A c a r c o m p a n y o f f e r s a l o a n o f $ 20 000 t o p u r c h a s e a n e w c a r f o r w h i c h i t c h a r g e s i n t e r e s t a t 1 % p e r m o n t h . A s a s p e c i a l d e a l, t h e c o m p a n y d o e s n o t c h a r g e i n t e r e s t f o r t h e f i r s t 6 m o n t h s; h o w e v e r, t h e m o n t h l y r e p a y m e n t s s t a r t a t t h e e n d o f t h e f i r s t m o n t h . W a y n e t a k e s o u t a l o a n a n d a g r e e s t o r e p a y t h e l o a n o v e r 5 y e a r s b y m a k i n g 60 e q u a l m o n t h l y r e p a y m e n t s o f $ M . L e t A_{n} b e t h e a m o u n t o w i n g a t t h e e n d o f t h e n t h m o n t h F i n d a n e x p r e s s i o n f o r A_{4} . S h o w t h a t A_{8} = (20000 - 6 M) {(1.01)}^{2} - M (1 + 1.01) . F i n d a n e x p r e s s i o n f o r A_{60} . F i n d t h e v a l u e o f M .$

Question 9:

$T h e g r a p h s o f y = 2 x a n d y = 6 x - x^{2} I n t e r s e c t a t t h e o r i g i n a n d t h e p o i n t B . (i) l l u s t r a t e w i t h a n e a t s k e t c h . (i i) F i n d t h e c o o r d i n a t e s o f B (i i i) C a l c u l a t e t h e a r e a b e t w e e n' t h e t w o g r a p h s .$

Question 10:

$A b a c t e r i a c u l t u r e o f N b a c t e r i a i s i n c r e a \sin g e x p o n e n t i a l l y s o t h a t \frac{d N}{d t} = k N w h e r e t i s t i m e i n m i n u t e s a n d k i s a c o n s \tan t . T h e n u m b e r o f b a c t e r i a i n c r e a s e s f r o m 100 t o 400 i n 2 m i n u t e s . S h o w t h a t N = A e^{k t} i s a s o l u t i o n t o t h e a b o v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n, w h e r e A i s a c o n s \tan t . F i n d t h e e x a c t v a l u e o f t h e c o n s \tan t k i n s i m p l e s t f o r m . F i n d t h e n u m b e r o f b a c t e r i a p r e s e n t a f t e r 10 m i n u t e s . A f t e r h o w m a n y m i n u t e s a n d s e c o n d s w i l l t h e r e b e 1000 b a c t e r i a ?$