Question Paper of Hard Maths

Question 1:

$T h e l i g h t i n t e n s i t y, I u n i t s p a s \sin g t h r o u g h y m e t e r s o f w a t e r i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n : I = I_{1} e^{- 2 y} y \geq 0 W h e r e I_{1} u n i t s i s t h e l i g h t i n t e n s i t y a t t h e s u r f a c e a n d k i s a c o n s \tan t c a l l e d t h e a b s o r p t i o n c o e f f i c i e n t .$

$A b o v e t h e c r o s s s e c t i o n o f W a r r a n g a m b a D a m a n d i n t h e t a b l e b e l o w a r e t h e r e a d i n g s o f t w o l i g h t i n t e n s i t y m e a s u r m e n t f r o m t h e d a m .$

$U \sin g t h e t a b l e s h o w t h a t k = \frac{1}{6} \log_{e} (\frac{4}{3}) a n d h e n c e f i n d I_{1} c o r r e c t u p t o 2 d e c i m a l p l a c e s . S k e t c h t h e g r a p h I = I_{1} e^{- 2 y} i n d i c a t i n g t h e v e r t i c a l i n t e r c e p t . T h e f i s h t h a t l i v e i n t h i s d a m r e q u i r e l i g h t i n o r d e r t o s u r v i v e . O n e K i n d o f f i s h r e q u i r e s l i g h t o f a n i n t e n s i t y t h a t i s n o l e s s t h a n 35 % o f t h e i n t e n s i t y a t t h e s u r f a c e . D e t e r m i n e t e h m a x i m u m d e p t h s, c o r r e c t t o t h e n e a r e s t, m e t r e, a t w h i c h t h i s k i n d o f f i s h s u r v i v e .$

Question 2:

$W r i t e d o w n t h e f o r m u l a f o r : t h e n t h t e r m o f a n a r i t h m e t i c s e r i e s w i t h f i r s t t e r m a a n d t h e c o m m o n d i f f e r e n c e d t h e s u m o f t h e f i r s t n t e r m s o f t h i s s e r i e s$

Question 3:

$A p a r t i c u l a r s p i d e r' s w e b c o n s i s t s o f a s e r i e s o f r e g u l a r h e x a g o n s w i t h a c o m m o n c e n t r e 0, h e l d t o g e t h e r b y r a y s t h r o u g h 0, a s i n t h e f i g u r e, w h e r e o n l y s o m e o f t h e h e x a g o n s a r e s h o w$

$T h e v e r t i c e s o f t h e s m a l l e s t h e x a g o n s a r e 4 c m f r o m 0 . T h e v e 1 i i c e s o f t h e n e x t h e x a g o n s a r e 2 c m f u r t h e r a w a y a n d t h e y c o n t i n u e a t 2 c m i n t e r v a l s a l o n g t h e r a y s u n t i l t h e v e r t i c e s o f t h e l a s t h e x a g o n A B C D E F a r e 60 c m f r o m 0 . H o w m a n y h e x a g o n s a r e t h e r e ? W h a t i s t h e l e n g t h, i n e m, o f t h e p e r i m e t e r o f t h e s m a l l e s t h e x a g o n ? W h a t i s t h e t o t a l l e n g t h o f t h r e a d u s e d b y t h e s p i d e r i n m a k i n g t h i s w e b (i n c l u d i n g t h e s i x r a y s f r o m 0) ?$

Question 4:

DIAGRAM NOT DRAWN TO SCALE

Given $AB ∥ CD$ , $∠ B C E = 40 °$ and $BC = EC$ , find the size of $∠ E C D$ , giving reasons.

Question 5:

$D r a w a n e a t s k e t c h s h o w i n g p o i n t s A (3, - 1), B (7, 2) a n d C (1, 10) o n a n u m b e r p l a n e . i) F i n d t h e g r a d i e n t s o f B C a n d o f A B . i i) S t a t e w h y A B C i s a r i g h t a n g l e d t r i a n g l e . i i i) F i n d t h e a r e a o f ∆ A B C .$

Question 6:

$C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d i a g r a m a n d q u e s t i o n :$

$G i v e n t h a t t h e a r e a s h a d e d A i s 6 u n i t i, a r e a B i s 2 u n i t a n d a r e a C i s 3 u n i t, f i n d \int_{0}^{3} f (x) d x M a r y a n n e' s s o l u t i o n w a s \int_{0}^{3} f (x) d x = 6 + 2 + 3 = 11 u n i t s^{2} M a r y a n n e' s s o l u t i o n h a s o n e e r r o r i n E A C H o f h e r l i n e s o f w o r k i n g . C l e a r l y e x p l a i n (i n w o r d s) w h a t w e r e h e r e r r o r s W r i t e t h e c o r r e c t s o l u t i o n$

Question 7:

. $T h e d i a g r a m s h o w s t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n y = 2 x - x^{2} i) F i n d t h e x c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t B w h e r e t h e c u r v e c r o s s e s t h e p o s i t i v e x - a x i s . i i) F i n d t h e a r e a o f t h e s h a d e d r e g i o n c o n t a i n e d b y t h e c u r v e y = 2 x - x^{2} a n d t h e x - a x i s . i i i) W r i t e d o w n a p a i r o f i n e q u a l i t i e s t h a t s p e c i f y t h e s h a d e d r e g i o n$

Question 8:

$F i n d \int x e^{x^{2}} . d x$

Question 9:

$C o n s i d e r t h e c u r v e y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 2 i) S h o w t h e c u r v e h a s o n l y o n e s t a t i o n a r y p o i n t, f i n d i t s c o o r d i n a t e s a n d d e t e r m i n e i t s n a t u r e . i i) S t a t e t h e v a l u e s o f x f o r w h i c h t h e c u r v e i s c o n c a v e u p . i i i) S t a t e t h e v a l u e s o f x f o r w h i c h t h e c u r v e i s i n c r e a \sin g .$

Question 10:

$T h e b o w l o f a w i n e g l a s s i s f o r m e d b y r o t a t i n g t h e a r c o f t h e c u r v e y = 2 x^{2} + 2 b e t w e e n (0, 2) a n d (2, 6) a b o u t t h e y - a x i s . F i n d t h e v o l u m e o f t h e b o w l o f t h e g l a s s s o f o r m e d .$