Question Paper of Hard Maths

Question 1:

$S o l v e t h e e q u a t i o n {(5^{x})}^{2} + 5^{x} - 2 = 0, f o r x .$

Question 2:

$A t m o s p h e r i c p r e s s u r e d e c r e a s e s a s t h e h e i g h t a b o v e s e a l e v e l i n c r e a s e s a n d i s g i v e n b y A = A_{0} e^{k h} w h e r e A i s t h e a m o u n t o f a t m o s p h e r i c p r e s s u r e p r e s e n t, h i s t h e h e i g h t i n m e t r e s a b o v e s e a l e v e l, 0 A a n d k a r e c o n s \tan t s . S h o w t h a t \frac{d A}{d h} = K A i s a s o l u t i o n t o A = A_{0} e^{k h} T h e a t m o s p h e r i c p r e s s u r e d e c r e a s e s b y 12 % o f i t s i n i t i a l v a l u e a t a h e i g h t o f 1000 m a b o v e s e a l e v e l . F i n d t h e v a l u e o f k . M o u n t K o s c i u s z k o i s t h e t a l l e s t m o u n t a i n i n A u s t r a l i a s \tan d i n g 2228 m a b o v e s e a l e v e l . W h a t p e r c e n t a g e o f t h e i n i t i a l a m o u n t o f a t m o s p h e r i c p r e s s u r e w i l l b e p r e s e n t a t t h e s u m m i t o f M o u n t K o s c i u s z k o ? G i v e y o u r a n s w e r c o r r e c t t o 2 s i g n i f i c a n t f i g u r e s .$

Question 3:

$F i n d t h e e q u a t i o n o f t h e p a r a b o l a w h o s e a x i s i s p a r a l l e l t o t h e y - a x i s, v e r t e x i s (2, - 1) a n d h a s a \tan g e n t w i t h e q u a t i o n y = 2 x - 7 A q u a n t i t y ܳ Q o f r a d i u m a t t i m e t i n y e a r s i s g i v e n b y Q = Q_{o} e^{- k t} w h e r e ݇ i s a c o n s \tan t a n d ܳ i s t h e i n i t i a l a m o u n t o f r a d i u m a t t i m e t = 0 . (i) G i v e n t h a t Q = \frac{1}{2} Q_{o} w h e n t = 1530 y e a r s, c a l c u l a t e ݇, c o r r e c t t o t h r e e s i g n i f i c a n t f i g u r e s . (i i) A f t e r h o w m a n y y e a r s d o e s o n l y 20 % o f t h e i n i t i a l a m o u n t o f r a d i u m r e m a i n, t o t h e n e a r e s t w h o l e n u m b e r .$

Question 4:

$T h e d i a g r a m s h o w s p o i n t s A (- 3, - 2), B (- 1, 4) a n d C (5, 2) . P o i n t P i s t h e m i d p o i n t o f A C .$

$S h o w t h a t t h e e q u a t i o n o f t h e l i n e p e r p e n d i c u l a r t o A C a n d p a s \sin g t h r o u g h 3 t h e p o i n t P i s 2 x + y - 2 = 0 . S h o w t h a t B l i e s o n t h e l i n e 2 x + y - 2 = 0 . I f P i s a l s o t h e m i d p o i n t o f B D, f i n d t h e c o o r d i n a t e s o f D . W h a t t y p e o f q u a d r i l a t e r a l i s A B C D ? E x p l a i n y o u r a n s w e r .$

Question 5:

$A i s t h e p o i n t (- 1, 5) a n d B i s t h e p o i n t (2, - 2) . T h e l i n e l t h o u g h A a n d B h a s t h e e q u a t i o n 7 x + 3 y - 8 = 0 .$

$(i) S t a t e t h e g r a d i e n t o f t h e l i n e l . (i i) F i n d t h e a n g l e t h a t t h e l i n e l m a k e s w i t h t h e p o s i t i v e x - a x i s t o t h e n e a r e s t d e g r e e . (i i i) F i n d t h e e x a c t l e n g t h o f t h e i n t e r v a l A B . (i v) A C i s p e r p e n d i c u l a r t o A B . F i n d i t s e q u a t i o n i n g e n e r a l f o r m . (v) A c i r c l e w i t h i t s c e n t r e a t A i s d r a w n t h r o u g h B . F i n d t h e e q u a t i o n o f t h i s c i r c l e . (v i) D i s t h e p o i n t (7, - 1) . F i n d t h e p e r p e n d i c u l a r d i s \tan c e f r o m D t o t h e l i n e A B . (v i i) F i n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e A B D . S o l v e e^{2 x} - 3 e^{x} = 4 g i v i n g y o u r a n s w e r (s) i n e x a c t f o r m .$

Question 6:

$C o n s i d e r t h e c u r v e y = x^{3} - 3^{2} + 3 x - 1 (i) S h o w t h a t t h e c u r v e h a s o n l y o n e s t a t i o n a r y p o i n t, f i n d i t s c o - o r d i n a t e s a n d d e t e r m i n e i t s n a t u r e . (i i) S t a t e t h e v a l u e s o f x f o r w h i c h t h e c u r v e i s c o n c a v e u p . (i i i) S t a t e t h e v a l u e s o f x f o r w h i c h t h e c u r v e i s i n c r e a \sin g .$

Question 7:

$L i n e n h a s e q u a t i o n 3 x + y - 3 = 0 (i) W h a t i s t h e v a l u e o f i t s g r a d i e n t ? (i i) L i n e m i s p e r p e n d i c u l a r t o l i n e n a n d p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t A (2, 2) . S h o w t h a t t h e e q u a t i o n o f l i n e m i s x - 3 y + 4 . = 0 . (i i i) W h a t a c u t e a n g l e, t o t e n e a r e s t m i n u t e, d o e s t e l i n e m m a k e w i t h t h e x a x i s ? (i v) P o i n t B i s t h e x - i n t e r c e p t o f t h e l i n e m . f i n d t h e c o o r d i n a t e s o f B . (v) P O i n t C h a s c o o o r d i n a t e s (2, 6) . F i n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e A B C .$

Question 8:

In the diagram, the point B is due east of point A. The point C is 19 km 3 from point A and 10 km from point B. Point C is North 35 degrees West of point B. Find the true bearing of point C from point A.

Question 9:

$(i) s o l v e 3 \log_{7} 2 = \log_{7} x - \log_{7} 4 (i i) d i f f e r e n t i a t e t h e f o l l o w i n g w i t h r e s p e c t t o x (a) x^{2} \log_{e} x (b) \frac{e^{x}}{3 x - 2}$

$(i i i) f i n d \int 5 e^{2 x} d x (i v) f i n d \int \frac{4}{2 x - 7} f i n d t h e e q u a t i o n o f t h e \tan g e n t t o t h e c u r v e y = 2 x e^{x} a t t h e p o i n t (1, e) F i n d t h e a r e a e n c l o s e d b y t h e c u r v e y = \log_{e} x t h e x a x i s a n d t h e l i n e x = 2$

Question 10:

$Y C D Z i s t h e d g e o f a s t a r i g h t r o a d . X D i s a n e x i s t i n g s t a r i g h t f e n c e w h i c h m e e t s t h e r o a d d a t 45 ° . F a r m e r B o b h a s e n o u g h m a t e r i a l t o e r e c t 800 m e t e r s o f n e w f e n c e . H e p l a n s t o e n c l o s e a t r a p e z o i d a l p a d d o c k w i t h t h e m a x i m u m p o s s i b l e a r e a b y e r e c t i n g t h e f o l l w o i n g s t a r i g h t f e n c e .$

$L e t A B = x m e t e r s a) S h o w t h a t B C = 800 - (1 + \sqrt{2}) x . b) S h o w t h a t t h e a r e a o f t r a p e z i u m A B C D i s g i v e n b y A = 800 x - (\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}) x^{2} (c) F i n d t h e d i s \tan c e A B t h a t w i l l m a x i m i s e t h e a r e a o f t h e p a d d o c k .$

(ii)